二阶微分方程的通解 非齐次二阶微分方程的通解

二阶常系数齐次微分方程的特征方程有一对共轭复根r1,2=α±iβ时，为什么它的通解是y=(e∧αx

y=(C1+C2x)e^(-x)+5/2x^2e^(-x)

y(x) = c1e^[(α+iβ)x] + c2e^[(α-iβ)x]

二阶微分方程的通解 非齐次二阶微分方程的通解

二阶微分方程的通解 非齐次二阶微分方程的通解

= e^(αx) [c1e^(iβx) + c2e^(-iβx)] 下面利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx

= e^(αx) [c1(cosβx + iy=(C1+C2x)e^(-x)sinβx) + c2(cosβx-isinβx)]

= e^(αx) [(c1+c2)cosβx + i(c1-c2)sinβx]

= e^(αx) (C1cosβx + C2sinβx)

C1,2 由初始条件确定.

二阶微分方程通解公式,就是有特征方程的那个

举一个简单的例子：

s^2+3s+2=0 (2)

因式分 (s+1)(s+2)=0 (3)

两个根为： s1=-1 s2=-2 (4解求特征方程r^2+p（x）r+q（x）=0)

齐次方程的通

y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5)

y = 1/2 (6)

于是（1）的通解前者主要采用特征方程求解，也比较简单，记忆三个公式即可。后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解，这里也就是非齐次方程的特解不好求。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。为：

其中：a、b由初始条件确定.

二阶微分方程求通解

二阶线性微分方程形如 y’’+ P(x) y’+Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’=F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。

微分方程的通解。

齐次特征方程

r^2+2r+1=0

r=-1

所以齐次通解是

由于等号右边包含在y''+2y'+y=5e^-x通解中

所以设非齐次特解为

y=ax^2e^(-x)

y'=2axe^(-x)-ax^2e^(-x)

y''=2ae^(-x)-2axe^(-x)-2axe^(-x)+ax^2e^(-x)

=2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)

2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)+2[2axe^(-x)-ax^2e^(-x)]+ax^2e^(-x)

=2ae^(-x)=5e^-x

a=5/2

所以特解是y=5/2x^2e^(-x)

所以非齐次通解是

二阶微分方程

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关，通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

二阶微分方程如下：

对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，通常就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。

常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法：

1、f(x) = e^ax^Pm(x)型。

要1、dy/dx+y=e^{-x}令y=ue^{-x}，代入化简可得du/dx=1解之得：u=x+A从而得：y=(x+A)e^{-x} 2、xy'+y=x^2+3x+2即(xy)'=x^2+3x+2积分得：xy=(1/3)x^3+(3/2)x^2+2x+A得：y=(1/3)x^2+(3/2)x+2+A/x 3、dy/dx+2xy=4x即dy/dx+2x(y-2)=0亦即d(y-2)/dx=-2x(y-2)等价于d(y-2)/(y-2)=-2xdx积分得：y-2=Ae^{-x^2}得：y=2+Ae^{-x^2} 4、dy/dx+3y=8，x=0时y=2即d(y-8/3)/dx+3(y-8/3)=0亦即d(y-8/3)/(y-8/3)=-3dx积分得：y-8/3=Ae^{-3x}得：y=8/3+Ae^{-3x}代入初值条件得：A=-2/3从而得特解为：y=(2/3)(4-e^{-3x})点

2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢。

3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

4、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)。

当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。

可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法。

求二阶微分方程的通解？

特征方程代入原方程得是r^2－2r＋5＝0,

解得r＝1±2i,

所以原微分方程的两个线性无关的特解是e^x×cos(2x)和e^x×sin(2x),

所以通解是

y＝e^x×[C1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系。1×cos(2x)＋C2×sin(2x)],C1,C2是任意实数

求下列二阶微分方程的通解

其中：a、b由初齐次方程的通解：始条件确定。

二阶线性齐次微分方程通解求法

解出两个特征根r1，r2

若r1≠r2且r1，r2为实数，则y=c1e^（r1x）+c2e^（r2x）

若r1=r2且r1，r2为实数，则y=（c1+xc2）e^（r1x)

若r1，r2即a±bi为复数，y''+3y'+2y = 1 (1)

通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解

n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关

通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=c1y1(x)+c2y2(x)是通解的话，y=c1y1(x)+c2y2(x)+y1也是通解，但y=c1y1就是特解

否则如果非齐次方程的话，应该可以从c1y1(x)与c2y2(x)均为方程的解推出y1(x)=ky2(x)

关于二阶微分方程特解通解问题

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y则y=e^（ax）（c1cox+c2sinbx）=Ae ^x。

你给的例子实际上是一种特殊情形，不具有一般性。

对于你给的这个例子，由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x

二阶线性微分方程是什么？

二阶线性微分方程是指未知就你所抄的那句话来看是错的，不是二阶线性方程，而是二阶线性齐次方程；在这样的条件下成立的原因是，[y1(x)+y2(x)]'=y1(x)'+y2(x)'，c1y1(x)与c2y2(x)分别满足方程，则自然c1y1(x)+c2y2(x)也满足方程函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。

二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。

线性方程：在代数方程中，仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。

可以理解为：即方程的次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂，则称(2r-1)(r+1)=-0。它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。