黎曼函数的连续点 讨论黎曼函数的连续性

证明：在【a，b】上黎曼可积函数必存在连续点

既然f(x)在[a,b]连续，则从f(a)和f(b)向x轴作垂线，形成一个有边界的图形，这两条垂线，x轴，f(x)，显然这个图形的面积是确定的。而这个面积就是f(x)在[a,b]的积分。因此因为面积确定，所以可积！

黎曼函数的连续点 讨论黎曼函数的连续性

黎曼函数的连续点 讨论黎曼函数的连续性

为什么黎曼函数在无理点连续，它不是一些散点吗？(点与点之间因为有有理数不是断开的吗？)

有理点是稠密的，任取一个无理点，它的任意邻域都包含无穷多个有理点，在这些趋向于这个无理数的有理点上的值的极限永远都不是0（将无理点带入上式才识极限），所以不连续

因为它的一个存在就是合理合理，即存在存在即合理。

黎曼函数有哪些性质

定你说的Riemann函数是指这个:

在有理点p/q的取值为1/q(要求p/q是最简分数且q>0)，在无理点取值为0.

那么比较基本的性质是这些

1.R(x)非负

2.R(x)没有单调区间，也没有连续区间

3.每个有理点都是不连续点，且是极大值点。每个无理点都是连续点，且是极小值点

4.R(x)在闭区间上Riemann可积，但是没有原函数(即不是任何函数的导函数)

定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续

我想对这个结论的证明你肯定看到了，并且结论是这样的。你感觉矛盾是直观上不接受。

尽管有理点在这个区间上稠密，但有理点的取值能取大的很少（大小只是相对。实际上，给定任何一个小于1的数，能取比这个数大的有理点都是有限个），【这些大的数值是不在这个区间上稠密的】。任意给定一个小于1的数，在这个区间任何子区间上都能找到一个更小的子区间，在这个小的子区间上，尽管有有理数，但有理点的函数值能比给定的数小。所以极限处处为0不难理解。

这样，在无理点的任何邻域尽管有无穷多个有理点，但数值大的不多（给定一个小于1的数，只有有限个有理点的数值能比这个数大），剩下的无穷多个有理点函数值都很小，和0不多。因此在无理点连续很正常。

对有理点处处不连续，因为对固定的有理点它的函数值是确定的值，而它的任何邻域里总有无理点。还有函数值比这点的函数值更小的无穷多个有理点，这样它和附近的函数值别就比较大。

连续的本质就是两点距离很近，则函数值就不多。在有理点做不得这一点。

这是为的直观理解，不知是否正确，能否对你有帮助。欢迎讨论！

黎曼函数在无理点的连续性如何证明?

在无理点是连续的,在除0,1外的有理点不连续：

先证黎曼函数在0,1点连续.

下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0

对于邻域中的无理点显然成立.存在整数n使(1/n)=(1/n),从而|f(x)-0|<(1/n)

下证对于任意一个正数a,总存在1的一个邻域{x|t

对于邻域中的无理点显然成立.存在整数n使(1/n)

再证黎曼函数在所有有理点不连续.

设这个有理数为(p/q),(p,q)=1下证对于任意一个正数a,总存在(p/q)的一个邻域{x|0<|x-(p/q)|

=|(rq-ps)|/|sq|>=1/|sq| => s>(1/qt),f((r/s))=(1/s)=""> |f(x)-0|0 => 黎曼函数在所有有理点不连续.

黎曼函数的连续性是什么?

函数y=f(x)在点x0的改变趋于0时，它的函数y0也趋近于0，就说函数y=f(x)在x0处连续。两人个函数（y1=f1(x1)，y2=f2(x2)）用一个大花括号括起来，就成为一个函数，不过这个函数的图形有两条线。

在初中时直接这样连起来就行，但一定要注意一个前提，就是这两人函数的定义域是一样的，并且在定义域内这两个函数都是连续的。这两条线相交的点一定是相等的。那么，如果有一个不连续，是不是就有可能出现这两条线的交点会出现函数值不相等的情况。

相关介绍：

黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。

黎曼函数在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的测度为0。黎曼函数的不连续点即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。