球体表面积计算公式_球体表面积计算公式推导微积分

【数学】球的表面积和体积公式是如何推导出来的？

4πR^

微元法

球体表面积计算公式_球体表面积计算公式推导微积分

要用到极限的知识但他马上提出其中V2：V=4：π是错误的，因为V3：V=4：π（V3与V的任意等高截面均为4：π）。刘徽的论断非常正确，他实际上双指出了计算球体积的一条有效途径，那就是设法求出“牟合方盖”的体积。可惜的是，刘徽当时还没有找到求“牟合方盖”体积的办法。他说：“我们来观察立方体之内，合盖之外这块立体体积吧。它从上而下地逐渐瘦削，在数量上是不够清楚的。由于它方圆混杂，各处截面宽窄极不规则，事实上没有规范的模型可与之比较。若不尊重图形特点而妄作判断，恐怕有违正理。岂敢不留阙疑，街能言者来讲解吧。”由此，刘徽这种不迷信前贤，实事求是的治学精神可见一斑。这是我国球体积计算的第二阶段：改进。

高中数学书上有球的面积公式，半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR。球的体积公式，半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR，公式中R为球的半径，V为球的体积。推导的

球体的表面积公式

球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，也叫做球体。球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面，球的中心叫做r(k)=根号[R^-(kh)^]球心。

球体表面积公式(球面)S=4πR 2 。球体表面积公式，球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。

球体的表面积公式

半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR 2

半径是R的球的体积计算公式是：V=4/3πR 3

连接球的横截面积公式是:4πR×R。球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

球面积怎么求？

扇形：

球面积的计算公式:S=4R^2π,如果是半球的话只需计算球面积的一半和底部圆的面积,结果是S=1/2S球+S底=2πR^2+πR^2=3πR^2

{正方形面积=边长×边长}

球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，

它包括球面和球面所围成的空间，

球体表面1、定义：球的表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。积的计算公式为S=4πr2=πD2

球的横截面积公式

体积：三分之体积公式：V=4/3∏R^3四派乘以半径的平方

(2)第二步:求近似和求球体体积：

先用过球心的平面截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面叫做所得半球的底面。分割用一组平行于底面的平面把半球切割成2层。

球体的表面积，体积计算公式

S球的表面积=4πr2

V球=4πr3÷3

求近似和每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值。由近似和转化为和当近似和无限增大时，半球的近似体积就趋向于体积。

球体积计算在数学史上是一个很重要的问题，尤其在古代，这个问题解决得如何，从某种意义上讲，标志着某个、某个民族的数学水平的高低。我们中华民族在这个方面的杰出成就，是足可引以为豪的。

连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

早在公元前1世纪，我国对球体积计算是通过实测来完成的，其结果引出球体积计算公式： ，其中V——球体积，D——球直径，为什么？非常简单。用黄金分别制作一个立方寸的方块和直径1寸的球丸，用秤一称，一个16两，一个9两，球体积计算的近似公式就出来了。直到《九章算术》成书的年代还保留着上述公式。这可以说，是我国球体积计算的阶段：实测。

公元3世纪，刘徽在注《九章算术》时，对这个公式提出了异议。为了说明刘徽的观点，我们先引入以下几个模型，如图1，所示。

V1——正方体且边长为D，V2——V1的内切圆柱，V3——V1的两个内切圆柱的相贯体，V——直径等于D的球，V3是刘徽专门引入的，并命名为“牟合方盖”，即两个相同的方伞上下而合为一体。刘徽分析 的不准确是由以下推理所致：

]“牟合方盖” （图2）

到公元6世纪，我国球体积计算进入严密推导的第三阶段。数学家祖冲之的儿子祖 取 ，再将它填充成 ，所填充的那部分体积，正是当年刘徽不知如何中处置的“合盖之外，立方之内”的 。由水平截面在高为Z处截这个填充后的立方体，可截得正方形，由F1，F2，F3 ，F4组成。其中 （由勾股定理知），而 。由此，祖 提出“缘幂势既同，则积不容异”的论断，后人称之为“祖 原理”。并推出：如图3， ，因为F2+F3+F4=F=Z2。而B为倒立的正方体阳马，为B的体积的 ，显然，B1为B的体积的 ，再利用刘徽的结论V3：V=4：π，即可得球体积计算公式： ，其中D为球直径。

至此，我们可以说，在球体积计算方面，刘徽的方法确实妙不可言，而祖 的推导则完美无缺。而在西方，公元前3世纪阿基米德在《论球与圆柱》卷I中，曾以33个命题为准备，用穷举法在命题34个中才得出结论： 。到公元前17世纪卡瓦利里利用了与“祖 原理”相同的所谓“不可分量原理”，得出了 的结论，只不过他所采用的形式，这也是现行中学课本中所采用的方法。同学们可以自行比较这些方法的特点。

S=4pi(R^2) S 表面积 pi 圆周率 R圆直径 ^2 平方

体积

表面积公式：S=4∏R^2

表面积：4πr^2

一楼对，符号化：

S = 4πR^2

V = (4πR^3)/3

球的表面积公式怎么推的?谁知道?

经线和赤道把球面分成许多个角形”这里有问题，一旦分得很细的时候，三角形萎缩成线，那么面积微元

dS

=2πRRdθ球面积公式推导如下：，积分区间为(0,π)

则S

=2(πR)^2，看上去很合理，其实只要注意到“两极地区”被无数次夸大——相当于使用很细的圆环构造球形，两级地区重叠多次，并不是球的面积了....

关键：积分不能有重叠计算。

你得到的结果是半个球体。如果是常用体积公式：使用三角形面积公式得到面积微分元dS，那么就存在一个问题：球面空间三角形面积公式不是平直空间那个二分之一底乘高了。

常见计算方法：

取“纬度线”累积处理，每个“纬度线”面积微元dS

=2πRcosθRdθ，积分区间θ

=(-π,+π)。

S=

2πR^2sinθ|(-π,+π)

=4πR^2

的球的表面积计算公式:

r为球半径

的球的体积计算公式:

V球=(4/3)πr^3,V=4/3pi(R^3) V 体积 pi 圆周率 R圆直径 ^3 立方

r为球半径

球的表面积公式和体积公式是什么？

{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}01

球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形求球体体积基本思想方法:成的旋转体，也叫做球体。球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面，球的中心叫做球心。球的面积公式，半径是R的球的表面积计算公式是:S=4πR2。球的体积公式，半径是R的球的体积计算公式是:V=(4平行四边形：/3)πR3，公式中R为球的半径，V为球的体积。

球面积公式推导

球的表面积=4πr^2，

用^表示平方。

把一个半径为r的球的上半球切成n份 每份等高。

并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径。

则从下常用表面积公式：到上第k个圆柱的侧面积s(k)=2πr(k)h。

其中h=r/n r(k)=根号[r^-(kh)^]

s(k)=根号[r^-(kr/n)^]2πr/n。

则 s(1)+s(2)+……+s(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半是用积分求出的。没发明积分运算时，球的体积是用祖暅原理做出的。好象表面积是到有极限运算时才做出的，也是类似于积分的原理。球表面积2πr^

球面积公式：

球面积的计算公式:S=4R^2π，如果是半球的话只需计算球面积的一半和底部圆的面积，结果是S=1/2S。

球+S底=2πR^2+πR^2=3πR^2。

球的表面积公式

设球的半径为$R$，球的表面积由半径$R$确定，所以它的表面积$S$是以$R$为自变量的函数，即$S_球=4πR^2$。

怎样计算体积和面积？

{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4}

体积是指物质或物体所占空间的大小，占据一特定容积的物质的量（表示三维立体图形大小）。

=2πr^根号[1/n^-(k/n^)^]

面积是指物体所占的平面图形的大小。

表面积是指所有立体图形外面的面积之和。

拓展资料

长方体：

（长方体体积=长×宽×高）

（正方体体积=棱长×棱长×棱长）

圆柱（正圆）：

【圆柱（正圆）体积=圆周率×(底半径×底半径)×高】

圆锥（正圆）：

【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高/3】

角锥：

【角锥体积=底面积×高/3】

球体：

【球体体积=4/3(圆周率×半径的三次方)】

棱台：

常用面积公式：

长方形(矩形）：

{长方形面积=长×宽}

正方形：

{平行四边形面积=底×高}

三角形e799bee5baa6e997aee7ad94e78988e69d8331333365653766：

{三角形面积=底×高÷2}

梯形：

{梯形注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；H：高。面积=（上底+下底）×高÷2}

圆形（正圆）：

{圆形（正圆）面积=圆周率×半径×半径}

圆环：

{圆形（外环）面积={圆周率×（外环半径^2-内环半径^2）}

{圆形（扇形）面积=圆周率×半径×半径×扇形角度/360}

长方体表面积：

正方体表面积：

{正方体表面积=棱长×棱长×6}

球体（正球）表面积：

椭圆

半圆：

(半圆形的面积公式=圆周率×半径的平方÷2）

球的表面积公式推导过程

(其中π(圆周率，a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长).

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。

以x为积表面积分变量，积分限是[－R，R]。

在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

用^表示平方

把一个半径为R的球的上半球切正方体：成n份

每份等高

并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径

则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)h

其中h=R/n

S(k)=根号[R^-(kR/n)^]2πR/n

=2πR^根号[1/n^-(k/n^)^]

则S(1)+S(2)+……+S(n)

当n

取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^

乘以2就是整个球的表面积