双曲线的标准方程证明过程双曲线的标准方程推导

作者：生活百科 • 更新时间2024-06-26 09:10:17 •阅读 1

双曲线的准线方程怎么推出来的？

双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^1=1

(焦点在x轴）

或y^2/a^2-x^2/b^2=1（焦点在y轴）

点到直线的距离是垂直距离，点到点的距离是直线距离

双曲线焦点所在实轴，垂直于准线

设x=t说明焦点在x轴上

也可以设y=t（焦点在y轴）

如果设成一次斜率不为0的函数的直线

椭圆方程的实轴将不在x轴或y轴上

椭圆方程将是一个复杂的二次曲线形式。

双曲线标准方程推导过程

双曲线标准方程推导过程：P={M属于MF1-MF2=2a}。双曲线是指与平面上到两个定点的距离之的为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于中轴的平面的交截线。一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离是常数的点的轨迹。这个固定的距离是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

求双曲线标准方程的方法

求双曲线标准方程的方法如下：

1、定义法。

利用定义法求双曲线的标准方程，首先要找出两个定点（即焦点）的位置或者坐标，然后根据已知条件判断是否有一动点到这两个定点的距离的为常数，且动点到两定点的距离的值小于两定点间的距离，则可根据双曲线的定义断定该动点的轨迹为双曲线。

从而确定 c和a 的值，再由 b2=c2-a2求出 b2，进而求双曲线标准方程。

例1：已知两定点的坐标分别为 F1-5，0，F25，0，动点 P 到定点 F1，F2的距离的的为6，求 P 点的轨迹方程。

分析：由题意可知动点 P 到定点 F1，F2距离的的为常数，即PF1-PF2=2a =6，且动点P 到两定点 F1，F2距离的值小于两定点间的距离，则 P 点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义可分别求得a 、b 的值，从而求得双曲线的标准方程。

解：由题意F1F2=10> 6，PF1-PF2=6，由双曲线的定义可知，P 点的轨迹是一条双曲线.因为双曲线两焦点的坐标在 x 轴上，设方程为：x2- y2= 1a >0，b >0，因为 F1-5，0，F25，0，所以 c =5 ，又因为PF1-PF2=2a =6 <2c =10，所以 a =3，则 b2=c2-a2= 16。

所以双曲线的标准方程为：x2- y2= 1。

2、待定系数法。

利用待定系数法求双曲线的标准方程，先要明确双曲线的焦点在x 轴还是y 轴上，然后设出双曲线的标准方程，根据题意建立方程组求得a，b 的值，进而求出双曲线的标准方程如果双曲线焦点的位置不易确定。

若 a =b ，可设双曲线的方程为：x2-y2= λλ≠0；若已知双曲线的渐近线方程为± =0，可设双曲线的方程为：x2- y2= λλ≠0。

例2：双曲线经过点 P2，，且它的一条渐近线方程为y =x ，求该双曲线的标准方程。

分析：由双曲线的渐近线方程： y =± x 可知，a =b，所以可设双曲线方程为 x2-y2= λλ≠0，将已知点的坐标代入，建立关于λ 的方程，便可解题。

解：由双曲线的一条渐近线方程为y =x，可设双曲线的方程为 x2-y2= λλ≠0，又因为双曲线经过点 P2，，可得：λ =2，则双曲线的方程为：x2-y2=2，所以其标准方程为 x2- y2= 1。

求双曲线标准方程的详细推导过程！万分感谢！

建立直角坐标系xoy，使X轴过俩点焦距F1,F2。Y轴为线段F1 F2的垂直平分线。

设M{x,y}是双曲线的任意一点，双曲线的焦距是2C{c大于0}，那么F1.F2的坐标分别是{—c.0}{c.0},设M与F1.F2.的距离的等于常数2a。所以P={M属于MF1—MF2=2a}，

所以，根号下{x+c}^2+y^2-根号下{x-c}^2+y^2=正负2a。化解的:x^2除以a^2-y^2除以a^2=1

又因为2c>2a,c>a,c^2>a^2,所以，b>0.

即,x^2除以a^2-y^2除以b^2=1