一元二次不等式知识点
一元二次不等式
哪些不是一元二次不等式 一元二次不等式是命题吗
哪些不是一元二次不等式 一元二次不等式是命题吗
1、概念:形如(其中a不等于0)的不等式叫做一元二次不等式;
2、解集的求法:求一般的一元二次不等式的解集,我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程的根的关系,先求出一元二次方程的= 0的根,再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。
3、列表如下:
3、一元二次不等式解法的逆向思维:给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和方程的两根,由韦达定理可知a,b,c之间的关系。
4、含有参数的不等式的解法:解含有参数的一元二次型的不等式。
(1) 要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行讨论。
(2) 转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后,再用判别式与零的大小关系作为分类标准进行讨论
(3) 如果判别式大于零,但两根韩式不能确定,此事再以两根的大小作为分类标准在进行分类讨论;
5、分式不等式的解法:解分式不等式的思想是把分式不等式转化为整式不等式,即: >0转化为 f(x)g(x)>0
转化为 f(x)g(x)<0
注意:解此类分时式不等式时,转化为整式不等式后,应注意分子可以取零,但是分母不可以取零。
6、一元高次不等式的解法:数轴穿根法
(1)将f(x)次项的系数化为正数
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积。
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意:重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过)
(4)根据曲线显现出的f(x)值得符号变化规律,写出不等式的解集
(解普通一元二次不等式)
例1、(1) x+3x-10<0; (2)3 x+5x-2>0
(跟踪训练)(1)- x+4x-5>0 (2)9 x-6x+1>0
(3) -3x-2x+8≤0
(不等式恒成立问题)
例2、(1)3x+x-4>0 (2) x+2x+3>0
(含有的不等式)
例3、(1)x-2|x|-3>0 (2) 2x+|4x+3|<0
(跟踪训练)
(1)︱2x-1︱<3 (2)︱2x-x-1︱≥1
(含有参数的不等式)
例4、(1)56 x-ax-a<0 (2) -x+(a-1)x+ a>0
(3)ax-(a+1)x+1<0
(分式不等式)
例5、(1)≤-1 >0
(一元高次不等式)
例6(1) (2) (x-2)2(x-3)3(x+1)>0.
(跟踪训练)
(1)(x-3)(x+1)(x2+4x+4) 0. (2)
(思考) (x-x2+12)(x+a)<0.
(韦达定理与一元二次方程)
例7、已知一元二次不等式ax+bx+1>0的解集为{x︱-1<x<},则ab的值为
(一些恒成立问题)
例8、已知不等式x+ax+4<0解集为空集,求a的取值范围
(跟踪训练1)当a为何值时,不等式(a-1)x-(a-1)x-1<0的解集是全体实数。
(跟踪训练2)若对x∈R,ax+4x+a≥-2x+1恒成立,求实数a的取值范围。
/x-2/≥2一元二次不等式?
这不是一元二次不等式,而是一元一次不等式。
|x一2|≥2
解:原不等式可化为:
x一2≥2或x一2≤一2,
∴ⅹ≥4或ⅹ≤0。
|x-2|≥2,当x-2>0时则x-2≥2即x≥4;当x-2<0时则-(x-2)≥2即-x+2≥2,-x≥0∴x≤0。
一元二次不等式如何分类?
含有一个未知数且未知数的次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是ax^2 bx c>0或ax^2 bx c<0(a不等于0),其中ax^2 bx c实数域内的二次三项式。 一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别式,下同)=b^2-4ac>=0时,二次三项式,ax^2 bx c有两个实根,那么ax^2 bx c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样,解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。 还是举个例子吧。 2x^2-7x 6<0 利用十字相乘法 2x -3 X -2 得(2x-3)(x-2)<0 然后,分两种情况讨论: 一、2x-3<0,x-2>0 得x<1.5且x>2。不成立 二、2x-3>0,x-2<0 得x>1.5且x<2。 得不等式的解集为:1.5
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