斐波那契数列求和公式_斐波那契数列通项

数列求和方法总结

数列求和方法总结如下：

斐波那契数列求和公式_斐波那契数列通项

斐波那契数列求和公式_斐波那契数列通项

一、公式法

公式法是最基本的求和方法，适用于等数列和等比数列。我们以等数列为例，如果数列的首项为a1，公为d，项数为n，则该等数列的和为：S=n(a1+an)/2=n(a1+a1+(n-1)d)/2=n(2a1+(n-1)d)/2

二、分组求和法

分组求和法是一种比较常用的求和方法，适用于数列的各项之间存在一定规律的情况。具体来说，将数列按照某种规律分成若干个子数列，然后对每个子数列求和，将所有子数列的和相加即可得到整个数列的和。

三、递推公式法

递推公式法适用于数列存在递推关系的情况。具体来说，如果数列的前n项和为Sn，第n+1项为an+1，则该数列的前n+1项和可以表示为：Sn+1=Sn+an+1。

如果我们已知数列的项和递推关系，就可以通过递推公式来求解数列的任意项和。例如，斐波那契数列就可以使用递推公式S(n)=F(n+2)-1来求解。

四、几何意义法

几何意义法是一种比较直观的求和方法，适用于数列可以转化为平面图形或立体图形的情况。具体来说，我们可以将数列看作一个平面图形或立体图形，然后通过计算图形面积或体积来求解数列的和。

五、分法

分法适用于数列的相邻项之间存在一定规律的情况。具体来说，我们可以定义数列的一个新序列b1,b2,...,bn-1，其中第i个元素为ai+1-ai。

六、换元法

换元法适用于数列的项数较多，但存在某些规律，例如数列的每个项都可以表示为某个函数的值。具体来说，我们可以将数列的每个项都表示为某个函数f(i)的值，然后将求和式中的i替换为f(i)，这样就可以将数列的求和转化为函数的积分或求和。

七、特殊技巧法

特殊技巧法适用于数列中存在某些特殊的规律或性质的情况。例如，对于等数列，如果将数列的首项和末项交换位置，仍然可以得到相同的和。因此，我们可以将数列的项数除以2，然后将首项和末项相加，再乘以项数，就可以得到数列的和。这个方法适用于项数为偶数的等数列。

斐波那契数列倒数和

3.359885666243177553172011302892717968890513373196848649555381532513031899668338361541621645679008729704534292885333041367890171008836795351733077119078580333550337753187599850487179777897006039564507815101150195149248644519098140234457522307405573260765987852806249869947162904605505192016206859792429885258452312239519457322873414648063657549403898731032078002469368218935107873101856663178953571883218254741138870818945551702811022469351692252469677576048812115950501687038732636

这个问题的性质就相当于要我们去用数来表示П，

想必楼主已经证明了这个值一定能代数数或者是常见函数值进行组合的超越数来表示。

若不是这样，还请楼主不要忘了，人们不能无限精度的表示 П ，并不等于人们计算不了圆的周长。

借助计算机，以及软件，比如mathematica,

你要多少位，原则上我就能给出多少位。

我不能求出解，但我能得到一个收敛的结果.

我们可以证明

Fk=(α^k-β^k)/(α-β),其中α,β(设α>β)满足方程x^2-x-1=0

下面我们考虑级数∑x^n/(1-x^n),(|x|<1)……（）

它是收敛的，事实上我们只需注意到：

x^n/(1-x^n)=x^n/[1-(x^2n)]+x^(2n)/[1-(x^2n)]

且由当|x|<1时，∑x^n收敛，据阿贝尔判别法，以单调递减且有下界的因子1/[1-(x^2n)]乘以该级数的对应项所得级数∑x^n/[1-(x^2n)]也收敛。同理，再以单调递减有界因子x^n乘级数∑x^n/[1-(x^2n)]对应的项所得级数∑x^(2n)/[1-(x^2n)]也收敛。故()也收敛，记级数()为L(x),则可以证明：

∑1/F2k=(α-β)[L(β^2)-L(β^4)],k=1,2,if(i%5==0)printf("\n");……

因为α,β满足x^-x-1=0,那么αβ=-1,

所以1/F2k=(α-β)α^(-2k)/[1-(β/α)^(2k)]

=(α-β)(β^2)^k/[1-(β^4)^k]

=(α-β){(β^2)/[1-(β^2)^k)] - (β^4)/[1-(β^4)^k)]}

所以

∑1/F2k=(α-β)[L(β^2)-L(β^4)] (因为β<1,所以β^2,β^4<1)

同理可以证明

∑1/F(2k-1)=(α-β)[L(β^2)-L(β^4)],k=1,2,……

故∑1/Fk收敛于(α-β)[L(β^2)-L(β^4)]

=√5[L((3-√5)/2) - L((7-3√5)/2)]

最终

3.359885 （近似值）

用c语言就可以知道了

不知道你能看懂哦

知道怎么运行不？？

#include

void main()

float sum=0;

double f[50];

f[0]=1;f[1]=1;

for{int i;(i=2;i<50;i++)

f[i]=f[i-2]+f[i-1];

{sum=sum+1/(f[i]);

printf("%15.0f",f[i]);

}printf("\n");

printf("%f\n",sum);

}运行结果

1 1 2 3 5

8 13 21 34 55

89 144 233 377 610

987 1597 2584 4181 6765

10946 17711 28657 46368 75025

121393 196418 317811 514229 832040

1346269 2178309 3524578 5702887 9227465

14930352 24157817 39088169 63245986 102334155

165580141 2674296 433494437 701408733 1134903170

1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025

3.359885

大哥啊，上面就是前50项，看清楚，是计算机计算的结果，如果要要，那不知道后面就多少位小数~~~~~

斐波那契数列通项公式推导方法

Fn+1=Fn+Fn-1

两边加kFn

Fn+1+kFn=(k+1)Fn+Fn-1

当k!=1时

Fn+1+kFn=(k+1)(Fn+1/(k+1)Fn-1)

令Yn=Fn+1+kFn

若当k=1/k+1，且F1=F2=1时

因为

Fn+1+kFn=1/k(Fn+kFn-1)

=>

Yn=1/kYn-1

所以

Yn为q=1/k=1(1/k+1)=k+1的等比数列

那么当F1=F2=1时

Y1=F2+kF1=1+k1=k+1=q

根据等比数列的通项公式

Yn=Y1q^(n-1)=q^n=(k+1)^n

因为k=1/k+1=>k^2+k-1=0

解为 k1=(-1+sqrt(5))/2

k2=(-1-sqrt(5))/2

将k1,k2代入

，和Yn=Fn+1+kFn

得到

Fn+1+(-1+sqrt(5))/2Fn=((1+sqrt(5))/2)^2

Fn+1+(-1+sqrt(5))/2Fn=((1-sqrt(5))/2)^2

两式相减得

sqrt(5)Fn=((1+sqrt(5))/2)^2-((1-sqrt(5))/2)^2

Fn=(((1+sqrt(5))/2)^2-((1-sqrt(5))/2)^2)/sqrt(5)

最终

3.359885 （近似值）

用c语言就可以知道了

不知道你能看懂哦

知道怎么运行不？？

#include

void main()

float sum=0;

double f[50];

f[0]=1;f[1]=1;

for(i=2;i<50;i++)

f[i]=f[i-2]+f[i-1];

{sum=sum+1/(f[i]);

printf("%15.0f",f[i]);

}printf("\n");

printf("%f\n",sum);

}运行结果

1 1 2 3 5

8 13 21 34 55

89 144 233 377 610

987 1597 2584 4181 6765

10946 17711 28657 46368 75025

121393 196418 317811 514229 832040

1346269 2178309 3524578 5702887 9227465

14930352 24157817 39088169 63245986 102334155

165580141 2674296 433494437 701408733 1134903170

1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025

3.359885

Fibonacci数列通项公式:

an=5/√5[((1+√5)÷2)^n-((1-√5)÷2)^n]

∵n->∞,lim(1/an)=0

∴级数收敛

和明天再算

#include

void main()

float sum=0;

double f[50];

f[0]=1;f[1]=1;

for(i=2;i<50;i++)

f[i]=f[i-2]+f[i-1];

{sum=sum+1/(f[i]);

printf("%15.0f",f[i]);

}printf("\n");

printf("%f\n",sum);

1 1 2 3 5

8 13 21 34 55

89 144 233 377 610

987 1597 2584 4181 6765

10946 17711 28657 46368 75025

121393 196418 317811 514229 832040

1346269 2178309 3524578 5702887 9227465

14930352 24157817 39088169 63245986 102334155

165580141 2674296 433494437 701408733 1134903170

1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025

3.359885

证明：斐波那契数列中的立方数是8

a(n+2)=an+a(n+1),a1=0,a2=1.

a(n+2)=m^3,m为大于2的正整数.

它的通项公式为:

an=

1/5^(1/2)[[1+5^(1/2)/

2]^n-[1-5^(1/2)/for(i=0;i<50;i++)

2]^n]

由二项式展开定理:

(a+b)^n=C(n,r)a^(n-r)b^r

(r从0到n,求和)

记求和符号P(r,0,n)

[1+5^(1/2)/

2]^n=

2^(-n)P(r,0,n)C(n,r)(5^(1/2)/

2)^r

[1-5^(1/2)/

2]^n=

2^(-n)P(r,0,n)C(n,r)(-5^(1/2)/

2)^r

所以

[1+5^(1/2)/

2]^n-[1-5^(1/2)/

2]^n=

2^(-n)[P(r,0,n)C(n,r)(5^(1/2)/

2)^r

-P(r,0,n)C(n,r)(-5^(1/2)/

2)^r]

(1)当n为奇数时,an=1/5^(1/2)2^(1-n)

[P(r,0,n-1)C(n,r)(5^(1/2))^r

=2^(1-n)[P(r,0,n-1)C(n,r)5^((r-1)/2)]

(2)当n为偶数时,an=1/5^(1/2)2^(1-n)

[P(r,0,n-1)C(n,r)(5^(1/2))^r]

=2^(1-n)[P(r,0,n-1)C(n,r)5^((r-1)/2)]

其中r取1,3,5,7,....,n-1.

就其中r取1,3,5,7,...,n这样!