快速傅里叶变换蝶形算法(傅里叶变换的蝶形算法)

试画出信号按时间抽取的基-2FFT算法信号流图，并写出对应过程奇偶分流的公式。

基2算法，序列的长度是为2的幂，序列的DFT为。序列可以由奇序列和偶序列组成，DFT分别为和。 从一级往前分解对应的蝶形结构，这些蝶形结构最左边的输入都是序列的DFT值，而分解直到最左边的蝶形结构是两点序列的DFT，此时最左边的值是序列x[k]。

快速傅里叶变换蝶形算法(傅里叶变换的蝶形算法)

快速傅里叶变换蝶形算法(傅里叶变换的蝶形算法)

f1=50; %10Hz

f2=100; %100Hz

%抽样频率

Fs=1000; %100Hz

%抽样点数N

L=10;

N=2^L;

%抽样脉冲序列

n = 0:N-1;

t = n./Fs;

% f2 一个周du期的采样zhi数

M = floor(Fs/f2);

%被采样信号

x = cos(2pif1.t)+sin(2pif2.t);

%采样序列

subplot(311);

stem(t(1:2M),x(1:2M));

hold off;

%傅里叶变换

%根据有限长序列的离散傅里叶变换公式计算DFT

n = 0:N-1;

k = 0:N-1;

F = x exp(-j2pi/N).^(n'k);

subplot(312);

plot(n,abs(F));

subplot(313);

plot(k,angle(F));

扩展资料：

库利－图基快速傅里叶变换算法是将序列长为N的DFT分区为两个长为N/2的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和库利与图基都指出的那样，库利－图基算法也可以用于序列长度N为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。

尽管库利－图基算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显示的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为库利－图基算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。

参考资料来源：

快速傅里叶变换FFT为什么必须是2^n呢?

FFT称为快速傅立叶变换。

一般的傅立叶变换要求很高，即要求时间上是无限的，能量还是有限的，这对于一般数字信号来说是不可能的。而快FFT则处理的是大量数字信号中的一小段，在它的处理理念中，其实是将这一小段信号作为周期信号来处理（不然还是处理不了），即在时间轴上将这一小段数据无限循环，在要求上满足傅立叶变换。因为需要满足它的周期性，其最小计算单元为2，确定其N只能为2的倍数，而且不可能像是6或10这样的数字，因为FFT还是对折运算，即不断的从中间对折（参考蝶形运算），直到算到最小单元为止，由此可知，其数据量只能是2的幂次。如果你的数据只有6个，那么它运算起来至少是将这些数据当8个来运算的。

交换机启动蝶形算法是什么意思啊

交换机启动蝶形算法是一种基于蝴蝶网络结构的路由算法，用于实现分组交换网络的路由选择。它是网络中的一种分布式算法，通过将分组的目标地址分解为一系列二进制位，将分组在网络中的传输路径定义为一组连续的交换机端口的，以实现从源地址到目标地址的传输。

蝶形算法的名称来源于网络结构中的蝴蝶形拓扑结构，该结构可以方便地实现路由选择。在蝶形算法中，每个交换机都会使用一张路由表，根据目标地址将分组转发到下一个交换机。每个交换机都会在路由表中查找目标地址，并根据目标地址的二进制位的值来选择传输路径。通过不断地选择路径，最终可以将分组传输到目标地址。

蝶形算法具有高效、可靠、简单等优点，在分组交换网络中得到广泛应用。同时，它也可以用于其他领域，如图像处理、信号处理等方面。

蝶形算法是一种优化算法，通过模拟蝴蝶翅膀的扇动，来实现一种更好的全局搜索和局部搜索的平衡。交换机启动蝶形算法是应用于交换机启动问题的一种蝶形算法，用于优化交换机启动所用的时间。

交换机启动问题是指在一个网络中，如何快速找到一个的转发路径，使数据包能够快速、稳定的到达目的地。交换机启动时间长会导致网络的传输效率下降和延迟增加。因此，如何降低交换机启动所用的时间是一个重要的问题。

交换机启动蝶形算法是一种基于优化算法的启动技术，通过优化交换机启动所用的时间，提高网络的传输效率和稳定性。它模拟了蝴蝶扇动时的特征，通过一些数学模型和算法优化来实现更好地平衡全局搜索和局部搜索的平衡，从而快速找到解。

交换机启动蝶形算法是指在交换机的数据交换过程中，使用蝶形算法对输入的数据进行处理和排序的过程。蝶形算法是一种分治算法，通过对数据进行分组、分解、计算和重组等作，实现高效的数据处理和排序。在交换机中，使用蝶形算法可以提高数据传输的速度和效率，减少数据传输的延迟和损失。同时，蝶形算法也能够保证交换机正常运行和高质量的数据交换，提高交换机的稳定性和可靠性。因此，交换机启动蝶形算法是交换机运行和管理的重要组成部分。

交换机启动蝶形算法是一种用于快速计算傅里叶变换的算法。它的原理是将一个N点DFT（离散傅里叶变换）分解为log2(N)级的蝴蝶作。在每个蝴蝶作中，将数据序列分成两部分，每部分进行一次乘法和加法运算，然后将它们合并起来。通过这种方式，可以将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。

交换机启动蝶形算法通常用于实现高速傅里叶变换（FFT）硬件加速器，尤其是在数字信号处理、通信、图像处理等领域中应用广泛。它具有计算速度快、计算精度高、占用硬件资源少等特点，因此在许多实时计算、高性能计算等场景中都被广泛采用。

在计算机网络中，交换机启动蝶形算法是指在进行链路状态协议（如OSPF，IS-IS等）的计算时，采用了一种将整个网络拆分成两个部分进行计算的方法。

具体来说，该算法将整个网络拆分成两个不相交的部分（也称为蝴蝶形状），每个部分都包含网络中的一半。然后分别计算每个部分的链路状态，合并计算结果以得出整个网络的链路状态。该算法的设计可以通过减少计算量来提高链路状态协议的计算效率和收敛速度。

需要注意的是，交换机启动蝶形算法需要满足一些前提条件才能有效实施，如网络结构必须满足对称性质等。此外，不同的链路状态协议也可能采用不同的分离规则和算法来实现蝶形计算。

16点DFT的FFT算法

参考8点按时间抽取FFT算法，

扩展一下就行了，采样输入序列要按序号进行二进制逆序排序（就是将序号的二进制码颠倒，再排序，比如x[1]的序号7的二进制码是001，颠倒一下是100，所以放在第4位，而x[0]的序号0的二进制码是000，排序后还是放在第0位）。8点里面上图中的N就是8，16点改成16，W右上角的系数观察上图，就可以看了规律了。建议看下书吧 ，分析一下拆分方法和递推公式，很简单的

傅里叶变换的应用

尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

什么是FFT算法？DSP是什么？

FFT是快速傅里叶变换（ Fast Fourier Transform ）

DSP是数字信号处理 （ Digital Signal Processing ）

快速傅里叶变换——理论

离散信号傅里叶变换的公式如下所示：

离散傅里叶变换的原理是将原本非周期的信号扩展为周期信号，在实际的数字电路处理中，处理的信号是有限长的，取长度为N，即N为信号 的周期，对于有限长周期信号，其离散傅里叶变换有如下性质：

其中 为周期信号的傅里叶级数，而 表示当且仅当 时有 ，因此可以将傅里叶变换转为离散表达，如下所示：

考虑 以N为周期，因此仅需要计算k从0到N-1即可，取 此公式写成矩阵乘法模式如下所示：

W为一个 的方阵，该计算的复杂度为

对于系数矩阵中的元素 ，其公式如下所示：

考虑 ，推导公式如下所示：

再考虑 和 的情况：

再考虑 和 的情况：

考虑 且 或 的情况：

根据上述推导，可以得出系数W具有以下四条性质，这三条性质会在后续推导中用到：

基n快速傅里叶变换用于一个长度N为 的序列，例如基2快速傅里叶作用在 的序列上，基4快速傅里叶作用在 的序列上。现在考虑基2FFT的推导（硬件实现一般使用基4或基8FFT实现），首先写出有限长离散序列的傅里叶变换，记一个信号 的FFT变换为 ：

快速傅里叶变换的核心思想为 分而治之 ，即 分治法 ，该思想的核心是将一个长度为N的问题，分级为两个长度为 的问题，应用在这里即是需要将一个序列长度为N的FFT变换问题分解为两个序列长度为 的FFT变换。首先进行如下变换：

矩阵的形式如下所示：

根据W的性质 ，代入后有：

矩阵形式的表达如下所示，现在的矩阵为两个个高度为N，长度为N/2的矩阵。

代入 ，根据W的性质 有：

矩阵表达如下所示：

代入 ，根据W的性质 有：

矩阵表达如下所示：

根据上述推导，一个长度为N点的离散傅里叶变换被变为一个长度为 的离散傅里叶变换，取 公式如下所示：

根据频域抽取基2FFT的算法，除了按前后分类外，还可以直接按奇偶进行分类，公式如下所示：

对应的矩阵表示为：

取序列 ， 代入上述表达式，取 再代入W的变换性质可得：

其对应的矩阵为：

即将对F[k]的上半部分结果分解为两个FFT结果的和，即：

现在考虑F[k]的下半部分，公式如下所示：

取 ，代入有：

代入W的性质 和 ，有：

将变量i更换为k，其矩阵形式为：

最终可以将结果汇总为：

蝶形运算的公式如下，蝶形运算输入为 和 ，输出为 和 ，系数为 ：

其转换为矩阵表达为：

蝶形公式对应着2点FFT的计算，2点FFT的计算如下所示：

转换为矩阵表达为：

对应到蝶形运算有：

首先列出基2频域抽取FFT的分治公式：

以一个8点FFT为例，输入序列为：

进行次分治，分为两个4点FFT，序列为：

示意图如下所示，偶数标号的结果由个FFT生成，奇数标号的结果由第二个FFT生成：

随后进行第二次分治，将每个4点FFT分解为两个2点FFT，每个序列为：

示意图如下所示：

最终通过2点FFT计算出结果，但如上图所示，计算出的结果位置与标号并不对应，例如计算输出的标号为2的数据（Y10[1]）应当位于输出序列（X）的标号4（X[4]）。其变换规律为计算输出的标号为n的数据（第n+1个数据）对应到输出序列标号为m的数据，n为m的二进制反序。以计算输出标号为6（第七个数据）的数据Y13[0]为例，6的二进制为110，反序为011，对应十进制数为3，即有 。

首先列出时域抽取FFT的分治公式：