根号2是有理数还是无理数 如何证明有理数加无理数是无理数

证明√2是无理数

则a^2=2b^2

证明：

根号2是有理数还是无理数 如何证明有理数加无理数是无理数

两边平方：2=p^2/q^2

p^2=2q^2

显然p为偶数,设p=如果√2是有理数, 必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）2k（k为正整数）

有：4k^2=2q^2,q^=2k^2

显然q也为偶数,与p、q互质矛盾

∴假设不成立,√2是无理数

求根号2为无理数

反证法。

若根号2是有理数，则可以写成既约分数根号2=m/n。

由m^2=2n^2,可知m是偶数，设m=2k,于是有n^2=2k^2,则n也为偶数，这与m/n是既约分数矛盾。

因此根号2为无理数。

假设存在这样一个有理数p, p^2 = 2.

再设p = a/b， a、b是两正整数，且既约，就是没有除1外的共因子，使得(a/b)^2 = 2；

变形以后得a^2 = 2 b^2，推出a^2是个偶数，同时为了满足a^2是个平方数，那b^2必须包含一个因子2，所以a^2 / b^2不是既约的，那a/b也不是既约的啦！与前提矛盾，证得单位正方形对角线长度不是有理数！

假设根号2即根号2=p/q是有理数

有理数可以写成两个整数相除

且经过有限次的约分后

分子分母互质，成为最简分数

假设根号2=p/q

p，q互质

则两边平方

p^2=2q^2

2q^2是偶数

所以p^2是偶数

所以p是偶数，p，q互质

所以q是奇数

设p=2m

(2m)^2=2q^2这和p和q互质矛盾

4m^2=2q^2

q^2=2m^2

则q也是偶数，矛盾

所以根号2是无理数

如何证明根号 2 是无理数？

证明如下：

假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a 与 b 的公因数是1）,a和b都是正整数。

1、√2=a/b 那么可以得到aa=2bb。

2、从数的平方我们可以很快得到，bb的尾数范围是 (0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8。

3、2bb的尾数范围是（0,2,8）中的一个数。

4、因为aa=2bb,那么aa的尾数范围可以排那么m=n根号2除2和8，只有0。

5、因为2bb得到的值肯定是一个偶数，那么bb的尾数范围是(0,5)。则MN不互质

6、按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。所以根号2是一个无理数。

：

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派希伯索斯发现。

说明根号二是无理数

即:∟^2=P/Q

正确的反证法如下：

如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示

则：m^2/n^2=2

所以m^2=2n^2

所以m是偶数

假设m=2k，那么2n^2=4k^2

所以n^2=2k^2

所以说n也是偶数

既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾

假设根号2是有理数

设根号2=p/q(p,q互质)

所以p^2=q^22

所以p是偶数

所以p^2能被2^2=4整除

所以q^2能被2整除

这与p,q互质矛盾

所以根号2是无理数

数学题，帮忙答一下：求证根号2是无理数

假设存在这样一个有理数p,

两边平方p^2

=2.

再设p

=a/b，

a、b是两正整数，且既约，就是没有除1外的共因子，使得(a/b)^2

=2；

变形以后得a^2

=2

b^2=p^2/q^22，推出a^2是个偶数，同时为了满足a^2是个平方数，那b^2必须包含一个因子2，所以a^2

/b^2不是既约的，那a/b也不是既约的啦！与前提矛盾，证得单位正方形对角线长度不是有理数

如果根号2是有理数，那它的值为什么是无理数

于是n也一定要是偶数，于是

假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n（m,n都是正整数，且m,n互质，如果不互质，那么我们还可以约分，就没有意义了）

故根号2是无理数

根号2=m/n

两边平方化简

于是m一定要是偶数，可以设m=2s

其中s是正整数

化简n^2=2s^2

都是偶数

这就和假设m

n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数

初中数学 证明根号2是无理数

祝你好运。

假设存在这样一个有理数p,

p^2

=2.

再设p

=a/b，

a、b是两正整数，且既约，就是没有除1外的共因子，使得(a/b)^2

=2；

变形以后得a^2

=2

b^2，推出a^2是个偶数，同时为了满足a^2是个平方数，那b^2必须包含一个因子2，所以a^2

/b^2不是既约的，那a/b也不是既约的啦！与前提矛盾，证得根号2不是有所m^2偶数设m=2k(k整数)理数！

证明“根号2”是无理数

根号2=M/N

MN为互质所以假设错误整数

则2=M方/N方

M方=2M方

即M方是偶数,M为偶数

M为偶数,则M方为4的倍数

则N方为偶数,N为偶数

与假设矛盾

所以:根号2是无理数

这种方法叫反证法,

1,假设相反的情况成立

2,根据假设得出于假设矛盾的结论

3,从而证明假设错误,原命题正确

首先明白无理数的概念,

再用反证法证明:

假如根号2是有理数，则:它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示

则：m^2/n^2=2

所以m^2=2n^2

所以m是偶数

假设m=2k，则2n^2=4k^2

所以n^2=2k^2

所以说n也是偶数

故:m,n都是偶数，则m/n就不是最简分数，与题设相矛盾

假设根号2时有理数，则根2可写为p/q(p,q为互质整数），平方得p^2=2q^2,p^2为偶数，p也是偶数。记p=2m,则4m^2=2q^2,q^2=2m^2,q^2为偶数，q也为偶数，与p,q互质相矛盾，故根2为无理数。

证明根号2是无理数

两边平方：2=p^/q^

p^=2q^

显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）

有：4k^=2q^,q^=2k^

显然q业为偶数，与p、q互质矛盾

∴假设不成立，√2是无理数

1:证明根号2无理数:

证明:若根号2有理数则设等于m/n(m、n零整数m、n互质)

(m/n)^2=根号2

^2

=2

则m^2/n^2=2得2n^2=m^2

m^2=2n^2

所m^2=4k^2=2n^2

所n偶数

因m、n互质

所矛盾

所根号2有理数无理数

有质疑精神是好的，但是我可以明确地告诉你，这是个真命题。

因为，假设p、q不为为互质的正整数，则有p与q有公因数，必然可以约分，证明如下：

q=kn

p=km

m与n互素，如若不然，则以此方法进行下去，必然存在互素的两个正整数。

这是欧几里德的经典证明 可见几何原本

用反证法证明根号2是一个无理数

因为2b^2是偶数，所以a＾2是偶数,所以a是偶数

设a=2c

则4c^2＝2b^2

b^2=2c^2

这和a,b互质矛盾。

所以，根号2是无理数。

如果根号下2是有理数，则可以表示为a/b（a，b均为整数且互质）

因为2b^2是偶数，所以a＾2是偶数,所以a是偶数

设a=2c

则4c^2＝2b^2

b^2=2c^2

这和a,b互质矛盾。

所以，根号2是无理数。

假设根号二是有理数

那么，根号2=m/n，其中m和n是整数

因为根号2不是整数，所以上诉等式不成立。

结论与假设矛盾，故根号二是无理数

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:

根号2=p/q

于是

p=(根号2)q

两边平方得

p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）

由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。

因此可设p=2s,代入上式，得：

4s^2=2q^2,

即q^2=2s^2.

所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。

这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

√2=p/q

又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q

为最简分数,即最简分数形式。

把√2=p/q

得2=(p^2)/(q^2)

即2(q^2)=p^2

由于2q^2是偶数，p

必定为偶数，设p=2m

由2(q^2)=4(m^2)

得q^2=2m^2

同理q必然也为偶数，设q=2n

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n（m,n都是正整数，且m,n互质，如果不互质，那么我们还可以约分，就没有意义了）

根号2=m/n

两边平方化简

于是m一定要是偶数，可以设m=2s

其中s是正整数

化简n^2=2s^2

都是偶数

这就和假设m

n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数

这是一道很经典的证明

假设根号2是有理数，可以写作分数p/q，其中p和q经过约分已经是互质数

那么(p/q)^2=2,p^2=2q^2,p^2是偶数，p也应该是偶数。

把p写作2r，那么(2r)^2=2q^2,q^2=2r^2，q^2是偶数，q也是偶数。

p和q都证明出来是偶数，和互质数的假设矛盾，所以根号2是无理数

如果他不是无理数

2b^2=a^2就是有理数

就可以写成a比b的形式

ab互质平方得到2b方=a方

也就是a方偶设根号2是有理数数

那么a偶数

写成2k

2b方=4k方

b偶数

和互质矛盾

要证一个数是有列数，常证它能表示成几个有理数的和积商形式，要证它是无理数，就假设它是有理数，设法推出矛盾。

根号2=M/N

MN为互质整数

则2=M方/N方

M方=2M方

即M方是偶数,M为偶数

M为偶数,则M方为4的倍数

则N方为偶数,N为偶数

与假设矛盾

所以:根号2是无理数

证明根号2是无理数

则√2可以写成一个最简分数

证明：假设√2是有理数。那么可用互质的两个数m、n来表示√2。

即√2=n/m。

那么由√2=n/m可得，

2=n^2/m^2，即n^2=2m^2

因为n^2=2m^2，那么n^2为偶数，则n也为偶数。

则可令n=2a，那么(2a)^2=2m^2，

化简得2a^2=m^2，同理可得m也为偶数。

那可令m=2b。

那么由m=2b，n=2a可得m与n有共同的质因数2，即m和n不是互质的两个数。

所以假设不成立。

即√2是有理数不成立，那么√2是无理数。

扩展资料：

1、无理数性质

无理数不能表示为两个整数的比。即无理数为无限不循环小数。

2、常见的无理数有圆周长与其直径的比所以b也是偶数值（π）、欧拉数e，黄金比例φ。

3、有理数性质

有理数可表示为两个整数的比值。即有理数可以用分数来表示。

参考资料来源：

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